Statistica e grafica: come evitare di dire cose fuorvianti

Guardate questa grafica:

C'è qualcosa che non vi quadra?

No? Eppure dovrebbe.

Guardate meglio.

Vi quadra ancora tutto?

Ok, allora vi spiego.

Seguitemi.

Premettiamo che in Italia le cose non vanno bene. Sotto questo punto di vista non c'è nulla da dire: in Italia abbiamo un problema.
Ma non è questa grafica a mostrarlo, anzi dimostrarlo. Proprio per niente.

I problemi di questa grafica sono tre.

Uno è come si definisce la produttività. E non è un problema secondario... la definizione di produttività non è così univoca come si crede. Io stesso, pur avendo lavorato nel settore, non saprei darla senza se e senza ma.

Ma gli altri due problemi sono ancora più grossi e dimostrano quanto la grafica in realtà non dica nulla.

Primo: perché partire proprio dal 2004? E non dal 2000, dal 1996 o dal 2010, per esempio? Scelta ad hoc per sostenere le proprie tesi? Il sospetto è lecito, visto che generalmente in questi casi, se si vuole essere corretti, o si parte da quando ci sono dati (quindi da molto, anzi moltissimo, prima del 2004) o da quando c'è stata una cesura, uno shock (e questo non c'è stato nel 2004, c'è stato eventualmente nel 1999 - o 2002 - con l'arrivo dell'Euro, nel 2008 con la crisi iniziata col crollo di Lehman Brothers o nel 2020 a causa del Covid... ma non c'è stata nessuna cesura, nessuna crisi nel 2004).

Secondo: perché far partire tutti dallo stesso punto? Nel 2004 la produttività non era certo uguale per tutti. Quindi se metti il paese A e il paese B nel 2004 allo stesso livello, ma in realtà il paese A in quel momento aveva magari una produttività doppia del paese B, quindi al limite puoi dire che il paese B tot anni dopo è cresciuto più del paese A, ma la grafica che presenti fa credere che abbia una produttività maggiore, cosa che non è detta (anzi, è anche improbabile). Tale grafica dice solo che, percentualmente, è cresciuto di più, non che ha superato l'altro paese.
Anzi, in termini assoluti può anche essere cresciuto meno... visto che più dal basso parti... più le percentuali sembrano impressionanti, al di là dei valori assoluti.

Sono percentuali, è matematica, è statistica.

Ma il giornalismo non sa niente di tutto ciò. Non ne vuole sapere niente.

Saluti,

Mauro.

Inflazione (e interessi composti)

Oggi su X/Twitter un giornalista ha pubblicato un grafico in cui veniva riportata l'inflazione (mensile!) degli ultimi dodici mesi in Argentina.
L'ultimo dato (ottobre 2024) riporta il 2,7%.

Tra i commenti è apparso questo:

Che ovviamente è sbagliato, visto che moltiplica semplicemente l'inflazione per il numero di mesi: 2,7x12=32,4% annuo.

Ma l'inflazione non si calcola così!
L'inflazione annua a partire da quella mensile si calcola allo stesso modo degli interessi composti.

Poniamo che io abbia all'inizio un costo della vita pari a 100.
Dopo un mese, con l'inflazione al 2,7%, avrò un costo della vita pari a 102,7 (100x1,027).
Dopo due mesi però non avrò un costo della vita pari al 105,4, perché il nuovo 2,7% lo devo calcolare su 102,7 non su 100, così dopo due mesi il costo della vita sarà pari al 105,5 (102,7x1,027).

E così mese dopo mese fino ad arrivare, dopo 12 mesi, a un costo della vita pari al 137,7.
Cioè avrò avuto un'inflazione annua del 37,7%.

Se l'inflazione fosse diversa da mese a mese il procedimento sarebbe lo stesso, solo che ogni mese dovrei usare nel calcolo il valore dell'inflazione nel mese in questione, non sempre quello iniziale.

Magari i calcoli possono essere complicati per chi non è abituato a farli a mente, ma il concetto direi che è molto semplice.

Saluti,

Mauro.

Sempre sulle percentuali, queste sconosciute

Le percentuali, pur essendo in realtà una cosa concettualmente molto semplice, sembrano proprio non voler entrare in testa a molta gente.

Io, da tempo, mi diverto a fare quiz su Twitter (o X che dir si voglia) e Mastodon. Spesso di tipo matematico.

Ieri ho proposto il seguente (semplice) quesito:

Come vedete, il quesito non riguarda le percentuali.
Ma una utente di Twitter/X ha voluto dire chi sceglierebbe per tinteggiare la sua parete e per farlo ha tirato in ballo le percentuali, come potete vedere da questo nostro successivo scambio:

Ora, se tu vuoi calcolare quanto in percentuale uno ci mette in più a tinteggiare la parete rispetto al lavoro di coppia... devi partire dal tempo necessario appunto al lavoro di coppia.
Se parti dal tempo necessario al singolo imbianchino calcoli quanto in meno ci mettono in due (e in questo caso 40% sarebbe giusto).

Non mi pare così difficile, eppure non è la prima volta che mi trovo costretto a parlarne (e a correggere errori).

Ne parlai, per esempio, già qui in tema Covid.
Il concetto è esattamente lo stesso.

Saluti,

Mauro.

E continuiamo a violentare le percentuali

Come al solito Repubblica ci tiene a far vedere al mondo di non saper nulla di matematica.

E lo fa in questo articolo.

Leggete le due frasi sottolineate:

Allora, se il prezzo è quadruplicato (prima frase sottolineata), significa che il prezzo è cresciuto del 300%, non del 400%.
Facciamo come ipotesi che il coltivatore venda a 100.
Prezzo quadruplicato significa che al consumatore il prodotto costa 400.
Ergo, l'aumento percentuale è:

X=(400-100)/100=3, cioè 300%.

Se invece fosse giusto il 400% (seconda frase sottolineata), significherebbe che il prezzo è quintuplicato.
I calcoli sono analoghi a sopra, non serve che ve li rifaccia, vero?

Saluti,

Mauro.

Una lezione di matematica (immunologica)

Allora, oggi vorrei approfittare delle discussioni sul vaccino per il Covid19 per tenere una lezioncina di matematica.

Due premesse sono indispensabili.

1) La cosiddetta immunità di gregge (di cui si parla tanto e che i vaccini dovrebbero aiutarci a raggiungere) si ottiene quando una determinata percentuale della popolazione totale viene immunizzata mediante vaccinazione (in questa lezioncina trascureremo l'immunità ottenuta tramite malattia e successiva guarigione o quella naturale).

2) Nessun vaccino garantisce l'immunizzazione del 100% dei vaccinati (come nessun farmaco garantisce la guarigione dalla malattia per cui è usato al 100% dei suoi utilizzatori). Molti vaccini si avvicinano a questo 100%, ma nessuno lo raggiunge. Nella scienza (tutta, non solo in medicina) l'assoluto, il 100%, non esiste.

Partendo da queste premesse facciamo un po' di matematica partendo dai numeri che gli esperti del settore ci forniscono sul Covid (io vi parlo solo di numeri, di virus lascio parlare chi li ha studiati... ma studiati veramente, non su Google o dal verduraio sotto casa).

Per raggiungere l'immunità di gregge gli esperti parlano di necessità di vaccinare o immunizzare (capirete poi perché uso entrambi i termini anche se non sono sinonimi) il 90% della popolazione.
Non tutti concordano con questa percentuale, ma è quella citata dalla maggioranza degli esperti, quindi per la mia lezioncina userò questo 90%.
I vaccini poi hanno efficacia diversa tra loro, ma in questo nostro excursus usiamo quella del vaccino più diffuso, il Pfizer-BioNTech. Secondo gli studi pubblicati questo vaccino ha un'efficacia del 95%, cioè ogni 100 vaccinati, 95 risultano immunizzati.

Qui serve una terza premessa.
Io ho preso i numeri di cui sopra dalla letteratura scientifica, ma anche se questi numeri fossero errati per questo articolo non è importante: a me interessa farvi vedere come calcolare le percentuali relative a vaccinazioni e immunizzazioni. E il metodo di calcolo è indipendente dai numeri usati (ovviamente non sono da essi indipendenti i risultati del calcolo 😉).

Come visto nella seconda premessa vaccinato e immunizzato non sono sinonimi.
Quindi, se basta il 90% di vaccinati sulla popolazione totale per raggiungere l'immunità di gregge, significa che è sufficiente (e necessario) che il 95% di questo 90% sia immunizzato per ottenerla (ricordate il 95% di efficacia?).
Come calcoliamo il 95% di 90%?

Il calcolo da fare è il seguente (che è poi il modo di calcolare ogni quantità da una percentuale: si moltiplica la quantità assoluta - che in questo caso è a sua volta una percentuale, cioè il nostro 90 - per la percentuale che ci interessa e si divide per 100):

(95x90)/100.

Svolgendo i conti si ottiene 85,5.
Cioè: se basta vaccinare il 90% della popolazione per raggiungere l'immunità di gregge, significa che serve immunizzare l'85,5% della popolazione.

Se però, come ahimè spesso si dà per scontato, si parla di 90% di vaccinati ma si intende 90% di immunizzati (utilizzando perciò le due parole come sinonimi, quindi ora capite la puntualizzazione che ho fatto quasi all'inizio), il discorso cambia.
Servono in questo caso più vaccinati, visto che il nostro 90% è già il 95% dei vaccinati.
Che calcolo serve allora fare in questo caso per sapere che percentuale della popolazione totale va vaccinata per ottenere il 90% di immunizzati e quindi l'immunità di gregge?
In questo caso serve una proporzione: se 90(%) è il 95% dei vaccinati allora 90 sta a 95 come x (la quantità da trovare) sta a 100 (cioè la quantità totale). Cioè:

(90:95)=(x:100) o, in scrittura alternativa, (90/x)=(95/100).

Svolgendo i calcoli si ottiene x=94,7 (arrotondando alla prima cifra decimale).
Cioè, se per raggiungere l'immunità di gregge serve il 90% di immunizzati, bisogna vaccinare quasi il 95% della popolazione.

Buona matematica a tutti.

Saluti,

Mauro.

Ripassiamo la matematica col Covid

Sfruttiamo il Covid19 per fare un ripassino di matematica.

I servizi segreti hanno dichiarato che il numero reale dei contagi è il 50% in più di quello ufficiale (perché si ascoltino loro e non tutti gli altri che lo hanno detto prima è un mistero, ma non è importante per questo articolo).
Cosa significa questo?
Che per ogni 100 contagiati ufficiali, ce ne sono 150 reali.
E fin qua penso che il concetto sia facile e comprensibile per tutti.

Ma dopo la dichiarazione dei servizi mi è capitato di leggere tweet (e immagino che sugli altri social network non sia stato diverso) che dicevano che quindi i dati ufficiali erano sottostimati del 50%.

No!
Sbagliato!
Sono sottostimati del 33%!

Vedo che qualcuno comincia a storcere il naso... o è 33% o è 50%.
Non proprio. Seguitemi.

Ripartiamo dall'affermazione dei servizi.
Ho 100 casi ufficiali.
Il 50% di 100 è 50, quindi i casi totali sono 100+50=150.
Tutto semplice. Come avevamo comunque già visto prima.

Ma qui non ho calcolato la sottostima.
Ho calcolato il dato reale (dando per buona l'affermazione dei servizi) a partire da quello ufficiale (alias stimato).

Ma per calcolare la sottostima la strada da seguire è il calcolo inverso.
Io sottostimo il dato reale... quindi è dal dato reale che devo partire!
Quindi dai 150 casi reali.
Ora, se i casi ufficiali sono 100, significa che sottostimo il dato reale di 50 casi (50 casi, non 50%!).
Quindi parto da 150 e sottostimo di 50.
Ma 50 è il 33% di 150... quindi se sottostimo di 50 casi, sottostimo del 33%, non del 50%.
Se sottostimassi del 50%... avrei 75 casi in meno, visto che il 50% di 150 è 75 (e avrei quindi 75 casi ufficiali, non 100, visto che 150-75=75).

I numeri assoluti sono, ovviamente, uguali da qualunque parte si guardi la cosa.
Sono i numeri relativi, cioè le percentuali, a cambiare.
Perché... le cose relative dipendono ovviamente dal punto di partenza, quelle assolute altrettanto ovviamente no 😉

È semplice matematica.

Saluti,

Mauro.

Povere percentuali

Quando impareremo a capirle?
Ormai ne ho parlato più volte (per esempio qui e qui), rischio di diventare noioso, ma trovare fraintendimenti sull'uso delle percentuali anche in un libro di due divulgatori (uno anche ricercatore) che stimo mi fa male.
È vero che l'errore non lo commettono loro ma una persona che intervistano, però loro non correggono l'errore (bastava aggiungere una nota a piè di pagina per spiegare, non serviva correggere direttamente l'intervistato).

Il libro di cui sto parlando è Contro Natura, di Beatrice Mautino e Dario Bressanini, edito nel 2015 da Rizzoli nella BUR.
E l'errore di cui parlo appare a pagina 199:

Leggiamo nel primo paragrafo (frase pronunciata dall'agronomo Eugenio Gentinetta e nel libro correttamente virgolettata):
La resa di una pianta di Carnaroli è per il 70% paglia e per il 30% chicco, mentre nel Karnak il rapporto è metà e metà. Quindi la resa per ettaro è maggiore del 20%.
A parte che la resa di cui parla nella prima frase è paglia+chicco mentre quella nella seconda è solo chicco, ma questo non è importante in quanto il concetto rimane chiaro e inequivocabile comunque.
Se passiamo però alle percentuali il problema c'è. E serio.

Io non so quanta sia la resa totale del riso per ettaro, ma ipotizziamo (per semplicità, immagino che nella realtà sia molto di più) che ogni ettaro fornisca 1000 kg di riso.
Col Carnaroli significa che per ogni ettaro raccoglieremo 700 kg di paglia e 300 di chicchi.
Se invece del Carnaroli coltivassimo Karnak raccoglieremo 500 kg di paglia e 500 di chicchi.
Quindi (accettando come premessa che il totale rimanga 1000 kg) avremo una resa in chicchi di 200 kg superiore col Karnak.
Ergo un'aumento della resa per ettaro del 66,67%.
Questo numero viene da un semplice calcolo: (500-300)/300=200/300=0,6667. Che moltiplicato per 100 ci dà appunto la percentuale: 66,67%.

Da dove viene allora l'aumento  di resa del 20%? Dalla classica confusione tra valori assoluti e valori relativi: Gentinetta ha utilizzato la percentuale come fosse un valore assoluto, mentre è un valore relativo.
Errore sempre più diffuso, purtroppo, tanto che anche persone preparate come gli autori del libro neanche ci fanno più caso.

Saluti,

Mauro.

P.S.:
Al di là dello svarione citato (tra l'altro non autografo ma di un intervistato 😉) Contro Natura è un libro molto interessante e di piacevole lettura. Posso solo consigliarlo.

La legge dei grandi numeri

Non è quella che credete che sia.
E infatti ne sbagliate spesso l'applicazione.

Se io vi chiedessi cosa dice la legge dei grandi numeri, molti di voi mi direbbero che in una serie di eventi casuali (tipo il lancio di una moneta o le estrazioni del Lotto) prima o poi tutti i numeri o eventi devono uscire/verificarsi.
E infatti, per esempio, quando giocate al Lotto controllate quali numeri non escono da molto tempo e li giocate. O almeno molti di voi fanno così.

E sbagliate.

La legge dei grandi numeri (che andrebbe più correttamente chiamata teorema di Bernoulli) dice che in una sequenza di eventi casuali e indipendenti tra loro la distribuzione dei risultati tende tanto più ad avvicinarsi alla loro probabilità teorica quanto più numerosi sono gli eventi presi in considerazione.

Mi spiego con un esempio.
Prendiamo una moneta e giochiamo a testa o croce. Se la moneta è perfetta, senza difetti, non truccata sappiamo che testa e croce hanno entrambe una probabilità teorica di verificarsi del 50%.
Quindi la legge dei grandi numeri ci dice che più lanci faccio più sarà facile che la distribuzione testa-croce dei risultati si avvicini al 50%-50%.
Se faccio 10 lanci la distribuzione sarà probabilmente lontana da ciò, se ne faccio 1000 sarà decisamente più vicina, se ne faccio un milione lo sarà ancora di più. Eccetera, eccetera.
Questo dice la legge dei grandi numeri. Non dice nulla - ma proprio nulla - sui singoli lanci.
Se mi è uscita per 50 volte di seguito testa (difficile ma non impossibile) è inutile che al 51° lancio io scommetta su croce perché "per la legge dei grandi numeri prima o poi dovrà uscire croce". No, a ogni nuovo singolo lancio testa e croce continueranno ad avere ciascuna il 50% di probabilità di uscire.
E questo vale anche per distribuzioni/probabilità asimmetriche (tipo 60%-40% invece di 50%-50%) o per casi in cui i risultati possibili sono più di due (tipo le estrazioni del Lotto).
Gli eventi casuali non hanno memoria. Le monete, i numeri del Lotto non hanno memoria.

Ci sono però casi in cui invece conviene puntare su ciò che non è ancora uscito/accaduto pur trattandosi di eventi casuali.
Si tratta di quando ci troviamo di fronte a probabilità condizionate.
Ma come? - direte voi - l'evento o è casuale o è condizionato!
Sì, vero, ma l'evento può essere casuale e la probabilità condizionata.
Mi spiego anche qui con un esempio.
Prendete un classico mazzo di carte da 40 (per giocare a scopa, briscola o altro). Le 40 carte saranno 20 rosse e 20 nere (o meglio, rossi o neri saranno i loro semi, ma ci siamo comunque capiti).
Fatele spargere a caso col dorso in alto sul pavimento da qualcuno.
Dopo averlo fatto, chiamate qualcuno che era fuori e chiedetegli di scegliere una carta a caso. Evento casuale, visto che sul dorso le carte sono tutte uguali e lui non era presente durante lo spargimento sul pavimento.
Le probabilità che peschi una carta rossa o una nera sono pari: 50%-50%.
Lui pesca una rossa.
Se gli chiedete di pescarne una seconda vi conviene scommettere che sia nera, che sia rossa o è lo stesso?
Ebbene, vi conviene scommettere su una carta nera.
Infatti gli eventi sono sì completamente casuali (lui pesca sempre a caso), ma sono cambiate le condizioni in cui pesca, il che cambia la probabilità.
Alla prima pescata le carte nere erano 20 su 40, cioè il 50%.
Alla seconda pescata le carte nere sono sempre 20, ma su 39 (una rossa è stata già pescata), cioè sono circa il 51,3%.
Anche qui le carte non hanno memoria, ma il gioco cambia le condizioni a ogni pescata.
E qui non si applica la legge dei grandi numeri.

Saluti,

Mauro.

Le percentuali e l'assenza di cultura matematica - Il Post ha corretto

Ritorniamo per l'ultima volta sull'ormai famoso articolo del Post di cui parlai qui e qui.

Il Post ha finalmente corretto lo svarione sulle percentuali:

Però ha corretto mostrandosi scorretto: ha semplicemente sostituito le parole senza ammettere l'errore o aggiungere una nota che spiegasse la correzione.
Chiunque legga l'articolo solo ora quindi è portato a pensare che l'articolo sia stato matematicamente giusto fin dalla sua prima pubblicazione.

No, caro Post, così non va.

Saluti,

Mauro.

Le percentuali e l'assenza di cultura matematica - La censura del Post

Qualche giorno fa vi raccontai qui di una figuraccia matematica del Post.

Feci notare a quelli del Post la cosa anche in un commento all'articolo stesso sul loro sito.
Ma sorpresa... censura.
Sono stati pubblicati un sacco di commenti, alcuni anche idioti e un po' volgari, ma il mio no. E neanche quello successivo in cui chiedevo spiegazioni.

E no, non era un commento volgare: in passato il Post ha pubblicato commenti molto più "coloriti" (anche miei, sono sincero).
E no, non c'entra che avessi messo nel commento un link al mio blog: in passato il Post ha accettato senza problemi commenti con link al mio blog.
E no, non c'entra che li contestavo: su altri argomenti il Post accetta senza batter ciglio contestazioni.

Però fargli notare una cazzata matematica (spiegando anche didatticamente come andrebbero fatti i conti, quindi rendendo tutto sommato un servizio ai lettori) non si può.
La matematica corretta? Non sia mai!

Ah, un'altra cosa: all'articolo in questione il Post ha chiuso i commenti in pochi giorni... cosa per lo meno anomala se non forse addirittura una première.

Saluti,

Mauro.

P.S.:
E ovviamente l'errore non è stato corretto, come lo screenshot preso oggi mostra:

La puntata seguente:
Il Post ha corretto

Le percentuali e l'assenza di cultura matematica

Non serve più che vi dica quanto in Italia le scienze naturali e la matematica siano disprezzate (sia sempre ringraziato Maledetto Croce).
Quando si tratta di numeri, formule, dati e simili quasi tutti sono allergici. Anche (forse soprattutto) i giornalisti.

Leggete questo articolo del Post di oggi.

In particolare questo estratto:

Notate nulla di strano?
Se non lo notate ve lo dico io. Leggete questa frase:

Circa il 13% degli abitanti era a rischio povertà nel 2013, mentre nel 2016 la percentuale è passata a più del 23%, con una crescita di più del 10%.

Vi quadra? Se vi quadra, dovete tornare a studiare matematica.

L'aumento vero è di circa 10 punti percentuali (per la precisione 10,3), che in questo caso equivalgono a un aumento di circa il 78% (prendendo i valori corretti di 23,5% e 13,2%, se prendessimo i valori arrotondati di 23% e 13% l'aumento sarebbe di circa il 77%).

Perché?

In realtà è semplice. Per semplicità consideriamo i valori arrotondati di 23% e 13% (con i valori precisi il procedimento è identico, solo calcoli un pochino più lunghi se svolti a mano).

10% è la differenza "assoluta" tra 23% e 13%, non è la differenza "percentuale" tra i due valori.

Se io, invece di 23% e 13%, vi avessi detto solo 23 e 13 voi avreste (giustamente) detto che tra i due valori c'è una differenza di 10 unità, non del 10%.
Quindi quel 10% rappresenta l'aumento in valore assoluto (potremmo qui quasi considerare il "%" come un'unità di misura).

Per calcolare l'aumento in percentuale devo fare un altro ragionamento.

Prendiamo solo 23 e 13 (e non 23% e 13%). Se io vi chiedo quant'è l'aumento percentuale passando da 13 a 23 voi cosa fareste?

Voi fareste il seguente calcolo (con dP indico l'aumento in percentuale):

dP=[(23-13)/13]x100=76,92%

Che è il modo corretto di calcolare un aumento (o una diminuzione) in percentuale.

E per 23% e 13% invece di 23 e 13 vale assolutamente la stessa cosa.

Usando i valori precisi:

dP=[(23,5-13,2)/13,2]x100=78,03%

Saluti,

Mauro.

Le puntate seguenti:
La censura del Post
Il Post ha corretto

La percentuale delle salite

Tra le tante domande di scienza e tecnica che mi sento fare (e che facevo io stesso da bambino ;-) ) c'è quella sulla definizione della pendenza di una salita.
Tutti (o quasi) sanno che tale pendenza si indica con una percentuale... e chi non lo sa generalmente lo scopre quando arriva il tempo del Giro d'Italia o del Tour de France...

Ma cosa indica quella percentuale di preciso?
La risposta che uno normalmente si sente dare (e che mi diede mio papà quando lo chiesi da piccolo) è che una salita ha pendenza del 100% quando è inclinata di 45°.
Numericamente è la risposta corretta, ma non è in realtà la definizione. Del resto perché 45° e non 60° o 90°?

Per un motivo molto semplice: la percentuale non indica i gradi, ma indica il rapporto tra spostamento in orizzontale e spostamento in verticale: una salita con pendenza del 100% è una salita dove per ogni metro di spostamento in orizzontale vi è un metro di spostamento in verticale... e questo "casualmente" capita quando l'inclinazione è di 45°.

Una salita col 50% di pendenza è quindi una salita dove mi alzo di mezzo metro per ogni metro percorso in orizzontale (che corrisponde a 26,6°), una col 10% è una salita dove mi alzo di 10 cm per ogni metro di spostamento orizzontale (che corrisponde a 5,71°).

Chiaramente la distanza che io percorro effettivamente sul terreno non corrisponde né allo spostamento in orizzontale, né a quello in verticale bensì - nell'ipotesi di una salita a pendenza costante - la calcolo col teorema di Pitagora.
Nel caso di una salita al 100% il mio effettivo spostamento sul terreno sarà di circa 1,4 metri per ogni metro di spostamento in orizzontale, se al 10% lo spostamento effettivo sul terreno sarà in realtà di poco più di un metro.

Saluti,

Mauro.