Facciamo ora finta che l'ambiguità non esista e sia veramente un paradosso... ma...
...siamo sicuri che sia veramente un paradosso?
No, per niente.
Infatti, pur con tutto il rispetto e l'affetto che provo per Bertrand Russell (che la logica la conosceva, ma a quanto pare la dimenticava quando andava dal barbiere), non c'è nessun paradosso.
Infatti un paradosso, per essere definito tale, non deve avere lacune, deve essere "irrisolvibile" comunque lo si affronti.
E invece il paradosso del barbiere di lacune ne ha eccome.
Partiamo dalla sua formulazione standard, quella di Russell (formulazioni alternative e successive servono solo a risolvere il problema truccando le carte): In un paese il barbiere fa la barba a tutti quelli, e solo a quelli, che non se la fanno da soli, quindi chi fa la barba al barbiere?
Se uno conosce un minimo di logica (e anche di vita quotidiana) vede già due possibili soluzioni al "paradosso".
1) Chi ha deciso che il barbiere debba farsi la barba? Non avete mai visto barbieri barbuti?
2) Chi si fa la barba da solo, se la fa a casa la mattina appena alzato. Se il barbiere se la facesse da solo appena alzato, se la farebbe da privato cittadino, non da barbiere, quindi rientrerebbe nella categoria di coloro che se la fanno da soli.
2) Chi si fa la barba da solo, se la fa a casa la mattina appena alzato. Se il barbiere se la facesse da solo appena alzato, se la farebbe da privato cittadino, non da barbiere, quindi rientrerebbe nella categoria di coloro che se la fanno da soli.
Ergo, non c'è nessun paradosso, visto che la formulazione ha varie lacune, non considera ogni possibilità (come dovrebbe un paradosso ben formulato).
Saluti,
Mauro.
Il paradosso definisce un insieme S delle persone che si fanno la barba da soli. Il barbiere B dice di fare la barba ad ogni elemento che non sta in S.
RispondiEliminaIn matematica un oggetto o sta in un insieme o non ci sta. Non ci sono vie di mezzo. Quindi o B sta in S o non ci sta.
Se B sta in S, allora B si fa la barba da solo, per definizione di S, ma allora l'affermazione di B sarebbe falsa.
Se B non sta in S, allora B non si fa la barba da solo, per definizione di S, ma allora come conseguenza dell'affermazione di B, B dovrebbe stare in S.
Il paradosso non ammette persone che non si fanno la barba, dato che se no l'affermazione di B sarebbe falsa. Quindi la "scappatoia" 1) non è un caso contemplato.
La scappatoia 2) implica che B sia esentato dal stare in S o meno, cosa non possibile in matematica. Per dare un senso formale, l'affermazione di B potrebbe diventare "il barbiere fa la barba a lui e a tutti quelli e solo quelli che non se la fanno da soli". L'affermazione sarebbe rispettata ed è proprio il senso che si dà all'affermazione di B nel linguaggio comune, che è ben diverso dalla logica.
Si potrebbe anche ipotizzare che B viva in un paese diverso, e che la sua affermazione precisa sia "B fa la barba a tutte le persone che vivono nel paese e che non si fanno la barba da soli". Ma molto meglio la scappatoia 2).
Il paradosso ha delle imprecisioni logiche perchè è espresso in linguaggio informale, e quindi è ambiguo nella sua formulazione. Infatti è più che altro un racconto "folcloristico". Più che altro ricorda che non esiste in matematica un elemento x che sta in un insieme S se e solo se non sta in S. E` un oggetto matematico inesistente. Il barbiere di Russel non esiste in matematica e di conseguenza anche in natura, dato che la matematica è il dominio del possibile.
Ergo, non esiste nessun paradosso. Esattamente come sostengo io.
EliminaSe Russell veramente credeva fosse un paradosso, allora dobbiamo farci due domande sulla capacità logica di Russell.
Io però credo solo invece che Russell ci abbia consapevolmente preso in giro e che continui a riuscirci perché noi, da brave beline quali siamo, non prendiamo minimamente in considerazione il fatto che anche i grandi possano dire cagate.
Vale ancora sempre l'ipse dixit, purtroppo.
Il paradosso del "barbiere di Russel" si risolve dicendo che il barbiere ha mentito nella sua affermazione, dato che non può esistere nessun barbiere che la possa rispettare. Quindi in maniera completamente diversa dai punti del post sopra, che rimane per lo più sbagliato, ma va bene come spunto di riflessione.
EliminaIl paradosso del barbiere è un paradosso che come il 99% dei paradossi ammette una soluzione (se no sarebbe una contraddizione che dimostra l'incoerenza di una teoria), ma questo lo fa rimanere un paradosso, perchè la natura del paradosso è di avere una soluzione inaspettata (il barbiere ha mentito), di sorprendere e mettere in guardia su un uso ingenuo di una certa teoria (in questo caso sulle affermazioni auto referenziali). Ha un valore didattico. Non è che una volta risolto, smette di essere un paradosso. Sarebbe come dire che una barzelletta di cui si conosce già il finale, non è più una barzelletta. L'effetto si riduce, ma rimane comunque qualcosa che colpisce.
In matematica per risolvere il vero paradosso di Russel (quello espresso in modo formale), hanno dovuto migliorare gli assiomi della teoria degli insiemi, se no nella forma originaria erano incoerenti. E continuano ad usare il paradosso per spiegare il perchè gli assiomi hanno quella forma. E lo continuano a chiamare paradosso (ma non contraddizione), perchè mantiene il suo valore didattico e di "sorpresa". Come in fisica quantistica il paradosso del gatto di Schrodinger è utile per far capire che non si può applicare la fisica quantistica al mondo macroscopico in modo ingenuo. Poi non sono un fisico e non so andare oltre. Ma anche se troveranno una soluzione soddisfacente al paradosso del gatto di Schrodinger (o la hanno già trovata), questo rimarrà per sempre denominato come un "paradosso", per il suo valore didattico e il modo con cui colpisce il lettore.
Comunque su una cosa siamo daccordo: il paradosso del barbiere di Russel è un indovinello folkloristico. Lo ha usato per dare un'idea.
Su tutto il resto siamo in disaccordo, perchè è ingiusto dire che Russel ha scritto cavolate e nessuno glielo fa notare stile "vestito nuovo dell'imperatore"; la soluzione proposta al paradosso nel post è sbagliata; e anche una volta risolto rimane un paradosso dato che mantiene il valore didattico.
Può non piacere perchè mischia logica con una situazione troppo reale, e qua non discuto. Sono gusti personali e li accetto. Ma comunque non è una "cavolata totale". Ha una base di autoreferenzialità logica da cui è difficile scappare.
Continui a confermare il mio punto, anche se in maniera sofisticata: non esiste nessun paradosso.
EliminaE la autoreferenzialità dimostra appunto che si tratta di una cavolata.
E io sono convinto che Russell lo sapesse.
Comunque ti devo ringraziare: hai spinto ai massimi le visite al mio blog da Cattolica (VPN permettendo 😉).
EliminaComunque ti devo ringraziare: hai spinto ai massimi le visite al mio blog da Cattolica (VPN permettendo 😉).
Elimina> Continui a confermare il mio punto, anche se in maniera sofisticata: non esiste nessun paradosso.
RispondiEliminaSecondo me stai/stiamo sbagliando il punto di vista. Il paradosso del barbiere non è tanto un paradosso se si cerca di capire cosa fa il barbiere, perchè uno se ne esce dicendo "ha mentito". Potrei anche essere daccordo che nel caso è poca cosa. Anche se poi hai scritto cose inesatte.
Il paradosso del barbiere è un paradosso se si cerca di predire cosa fa il barbiere, usando una forma naive di logica. A quel punto la logica diventa inconsistente perchè produce due risultati in contraddizione fra loro. Non è che la logica predice che non esiste nessun barbiere. No: se applichi certe regole logiche ti dice che il barbiere non si fa la barba da solo. Se ne applichi altre, ti dice il contrario. E` come se usando certe formule fisiche un oggetto fa i 5 km/h e usando altre, sta fermo.
E infatti hanno dovuto modificare gli assiomi di base della matematica, per evitare questa contraddizione. Quindi prima della correzione degli assiomi, il paradosso era una vera e propria antinomia/contraddizione logica. E ha avuto effeti reali nel mondo matematico.
Quindi più paradosso di così, penso non sia possibile. E` come se io ti dicessi che quando hanno misurato la velocità della luce e si sono accorti che non cambiava, beh non è stato un colpo per la teoria di Newton :-)
Il paradosso del barbiere è folcloristico. Ma l'idea di base è la stessa del paradosso serio di Russel: l'autoreferenzialità di un oggetto che ha una propietà se non sta nell'insieme degli oggetti con quella propietà.
> E la autoreferenzialità dimostra appunto che si tratta di una cavolata.
Beh qua mi trovi per certi versi daccordo. Gran parte delle formule autoreferenziali, sembrano una cosa profonda, ma di fatto non è che cambiano molto la realtà. Dopo che hanno corretto gli assiomi matematici, il teorema di Pittagora è rimasto valido uguale. Hanno solo sistemato dei edge-case che interessano ai filosofi/teorici.
Diciamo cosi: quando hanno misurato la velocità della luce e si sono accorti che era costante e non seguiva le leggi di Newton, hanno dovuto cambiare un sacco di leggi fisiche con effetti reali. Quando si sono accorti, grazie al paradosso di Russel, che c'era una contraddizione nella logica matematica, c'è stato un certo shock, ma una volta fatta la correzione, tutto il resto della matematica applicata/reale è rimasto esattamente uguale.
> E io sono convinto che Russell lo sapesse.
Mah c'è una parte di matematici fissati su queste cose qua e che forse gli dà più valore di quello che hanno. Cioè pensano che siano "profonde", quando forse non lo sono veramente.
Il mondo reale non ammette autoreferenzialità assoluta, come puoi invece fare in matematica. Io non posso sapere tutto di te, e di conseguenza agire in un certo modo, sopratutto se tu al contempo sai tutto di me e agisci in modo "contrario".
Ok ho provato a formalizzarlo. Forse riusciamo ad avere un punto di incontro in cui anche tu hai la ta parte di ragione.
RispondiEliminaChiamo BP il paradosso del Barbiere e RP il paradosso formale di Russel.
Il RP è effettivamente un paradosso che dice
let R = { x | x not-in x },
then R in R <==> R not-in R
e lo hanno risolto cambiando la teoria naive dei Set. R è un set che non esiste, dato che non è esprimibile in matematica ed è sparito il paradosso. Ma il paradosso è stato utile per trovare un errore nella teoria dei set e migliorarla.
Nota che R non è un set vuoto o non soddisfacibile. Proprio non esiste in ZFC.
Invece il BP, a differenza da quanto me detto in precedenza, non è possibile formalizzarlo in un modo che riporta direttamente e chiaramente al RP e quindi come dici tu non è un reale paradosso, dato che uno se ne può uscire dicendo che: 1) se il barbiere non è un uomo ma un robot che fa la barba a tutte le altre persone che ... allora esiste; 2) se il barbiere abita in un altro paese, allora ...; 3) se il barbiere deve essere una persona e abita nel paese, allora semplicemente non esiste, dato che non può rispettare la condizione.
Anche il punto 3) non è un paradosso, dato che equivale a dire che non c'è nessuna persona che può rispettare la condizione. Che è ben diverso da dimostrare una contraddizione.
A mia discolpa c'è da dire che le tue due soluzioni possibili nel post sono sbagliate, che l'inizio del post è un po' provacotorio, e che comunque la soluzione accettata di consueto non è che il barbiere non si faccia la barba, ma che non esista nessuna persona capace di rispettare la condizione. Quindi il post contiene una parte non corretta.
Il BP rimane un indovinello folkloristico, per introdurre ai problemi della logica in presenza di self-reference. Però se lo si analizza veramente a fondo, non è un vero paradosso. Lo è solo il RP. E il BP può essere formalizzato senza che diventi il RP e anzi diventa difficile farlo diventare il RP. Quindi l'unica parte che si salva del BP è quella in cui mette in guardia in presenza di condizioni con self-reference. Ma per il resto non è un paradosso logico, dato che ammette una soluzione. Rimane un "paradosso" solo nella parte in cui disorienta il lettore, ma non è una antinomia. Non è una contraddizione forte. Quindi in questo hai ragione te.
Ma ciò non svilisce Russel, dato che lo aveva riportato come cosa folkloristica e non ha nemmeno creato l'esempio lui. Russel ha scritto riguardo il RP, a livello accademico. Poi si sa, nella pop-culture ci finisce la parte più terra-terra che fa presa alla pancia e quindi il BP.
Un po' come quegli attori bravissimi a teatro e stimatissimi, che quando muoiono sono ricordati dai più solo per una publicità di successo :-)
"In matematica invece si distinguono i due termini: il paradosso consiste in una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente, ma lontana dall'intuizione; l'antinomia, invece, consiste in una vera e propria contraddizione logica. "
RispondiElimina"L'antinomia è un particolare tipo di paradosso che indica la compresenza di due affermazioni contraddittorie che possono essere entrambe dimostrate o giustificate. "
Quindi BP è un paradosso, dato che la sua soluzione logica è in contrasto con la risposta intuitiva. Ma non è una antinomia.
RP è una antinomia, se si usa ZF set theory, e infatti poi hanno creato ZFC.
Non è vero, come credevo, che BP sia direttamente riconducibile a RP. Hanno una parte in comune legata al concetto di un elemento che ha una propietà solo se non ha quella propietà, ma comunque solo a livello superficiale. Nel profondo, sono due cose diverse.
Non penso che Russel avesse troppe pretese nel citare BP. Era un cavallo di troia per introdurre "alle masse" RP. Poi è diventato popolare come paradosso anche fra alcuni filosofi matematici, perchè legato a RP, e ne hanno discusso un po'. Ma la sua fama, se lo si analizza bene, non è tutta meritata e in questo ti dò ragione. Ci sono paradossi più profondi di questo.