Vorreste poter andare in un albergo che è al completo, con tutte le camere occupate, e comunque sapere di poter trovare posto, anche senza aver prenotato o esservi comunque annunciati?
Probabilmente mi risponderete che sì, sarebbe bello, ma che purtroppo è logicamente impossibile.
E invece no! Tale albergo esiste.
Basta che andiate al Grand Hotel di Hilbert!
È un albergo aperto dal grande matematico tedesco David Hilbert (concittadino di Kant, essendo nato a Königsberg, oggi Kaliningrad, che tra le altre cose è anche la città del problema dei sette ponti di Eulero).
Hilbert si immagina un albergo con infinite stanze, tutte occupate.
Arriva un viandante e chiede una camera.
Tutte le camere sono piene, come già detto, ma alla reception trovano una soluzione.
Fanno spostare tutti i clienti già presenti nella stanza successiva alla loro... essendoci infinite stanze, ci sarà sempre una stanza successiva in cui spostarsi.
A questo punto avremo infinite stanze totali, ma infinite meno una stanze occupate: la prima stanza ora è vuota.
Il viandante si accomoda lì e tutti dormono sereni nell'albergo di Hilbert.
La sera del giorno dopo però si verifica un problema serio.
Stavolta arrivano infiniti viandanti, tutti stanchi e tutti bisognosi di una stanza.
E come si fa?
Voi potreste dirmi che basta ripetere il procedimento di prima infinite volte... ma poi i clienti già presenti si rompono i coglioni di spostarsi infinite volte e minacciano di andarsene. Come risolvere il problema facendo spostare tutti una sola volta?
Beh è più semplice di quel che sembra: si fa spostare ogni cliente già presente nella stanza col numero doppio di quella che già occupava: dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, dalla 3 alla 6, dalla 4 alla 8 e così via.
Essendoci infinite stanze ci saranno sempre abbastanza stanze disponibili.
Alla fine degli spostamenti tutte le (infinite) stanze pari saranno occupate e le (infinite) stanze dispari vuote. Gli infiniti viandanti arrivati si accomoderanno quindi nelle infinite stanze vuote rimaste e riposano sereni.
E no, non cercate quest'albergo su Booking o Tripadvisor... non lo troverete, purtroppo, essendo un paradosso matematico.
Per essere sicuri di trovare una stanza libera in vacanza dovrete sempre purtroppo prenotare in anticipo o andare in bassa stagione.
Saluti,
Mauro.
P.S.:
Il paradosso può essere esteso a infiniti alberghi o all'arrivo in albergo di infiniti pullman con ognuno infiniti passeggeri.
La spiegazione sembrerà un po' più contorta ai profani, ma il concetto di base rimane sempre quello esposto sopra.
