La legge dei grandi numeri

Non è quella che credete che sia.
E infatti ne sbagliate spesso l'applicazione.

Se io vi chiedessi cosa dice la legge dei grandi numeri, molti di voi mi direbbero che in una serie di eventi casuali (tipo il lancio di una moneta o le estrazioni del Lotto) prima o poi tutti i numeri o eventi devono uscire/verificarsi.
E infatti, per esempio, quando giocate al Lotto controllate quali numeri non escono da molto tempo e li giocate. O almeno molti di voi fanno così.

E sbagliate.

La legge dei grandi numeri (che andrebbe più correttamente chiamata teorema di Bernoulli) dice che in una sequenza di eventi casuali e indipendenti tra loro la distribuzione dei risultati tende tanto più ad avvicinarsi alla loro probabilità teorica quanto più numerosi sono gli eventi presi in considerazione.

Mi spiego con un esempio.
Prendiamo una moneta e giochiamo a testa o croce. Se la moneta è perfetta, senza difetti, non truccata sappiamo che testa e croce hanno entrambe una probabilità teorica di verificarsi del 50%.
Quindi la legge dei grandi numeri ci dice che più lanci faccio più sarà facile che la distribuzione testa-croce dei risultati si avvicini al 50%-50%.
Se faccio 10 lanci la distribuzione sarà probabilmente lontana da ciò, se ne faccio 1000 sarà decisamente più vicina, se ne faccio un milione lo sarà ancora di più. Eccetera, eccetera.
Questo dice la legge dei grandi numeri. Non dice nulla - ma proprio nulla - sui singoli lanci.
Se mi è uscita per 50 volte di seguito testa (difficile ma non impossibile) è inutile che al 51° lancio io scommetta su croce perché "per la legge dei grandi numeri prima o poi dovrà uscire croce". No, a ogni nuovo singolo lancio testa e croce continueranno ad avere ciascuna il 50% di probabilità di uscire.
E questo vale anche per distribuzioni/probabilità asimmetriche (tipo 60%-40% invece di 50%-50%) o per casi in cui i risultati possibili sono più di due (tipo le estrazioni del Lotto).
Gli eventi casuali non hanno memoria. Le monete, i numeri del Lotto non hanno memoria.

Ci sono però casi in cui invece conviene puntare su ciò che non è ancora uscito/accaduto pur trattandosi di eventi casuali.
Si tratta di quando ci troviamo di fronte a probabilità condizionate.
Ma come? - direte voi - l'evento o è casuale o è condizionato!
Sì, vero, ma l'evento può essere casuale e la probabilità condizionata.
Mi spiego anche qui con un esempio.
Prendete un classico mazzo di carte da 40 (per giocare a scopa, briscola o altro). Le 40 carte saranno 20 rosse e 20 nere (o meglio, rossi o neri saranno i loro semi, ma ci siamo comunque capiti).
Fatele spargere a caso col dorso in alto sul pavimento da qualcuno.
Dopo averlo fatto, chiamate qualcuno che era fuori e chiedetegli di scegliere una carta a caso. Evento casuale, visto che sul dorso le carte sono tutte uguali e lui non era presente durante lo spargimento sul pavimento.
Le probabilità che peschi una carta rossa o una nera sono pari: 50%-50%.
Lui pesca una rossa.
Se gli chiedete di pescarne una seconda vi conviene scommettere che sia nera, che sia rossa o è lo stesso?
Ebbene, vi conviene scommettere su una carta nera.
Infatti gli eventi sono sì completamente casuali (lui pesca sempre a caso), ma sono cambiate le condizioni in cui pesca, il che cambia la probabilità.
Alla prima pescata le carte nere erano 20 su 40, cioè il 50%.
Alla seconda pescata le carte nere sono sempre 20, ma su 39 (una rossa è stata già pescata), cioè sono circa il 51,3%.
Anche qui le carte non hanno memoria, ma il gioco cambia le condizioni a ogni pescata.
E qui non si applica la legge dei grandi numeri.

Saluti,

Mauro.